Question

8．如图，在平面直角坐标系中，直线l₁：y=$\frac{3}{4}$x与直线y₂：y=kx+b相交于点A，点A的横坐标为4，直线l₂交y轴负半轴于点B，且OA=$\frac{1}{2}$OB．
（1）求点B的坐标及直线l₂的函数表达式；
（2）现将直线l₁沿y轴向上平移5个单位长度，交y轴于点C，交直线l₂于点D，试求△BCD的面积．

Answer 1

分析 （1）利用直线l₁的解析式求出点A的坐标，再根据勾股定理求出OA的长度，从而可以得到OB的长度，根据图象求出点B的坐标，然后利用待定系数法列式即可求出直线l₂的函数表达式；
（2）求得平移后的解析式，进而求得交点D的坐标，代入三角形的面积公式进行计算即可得解．

解答 解：（1）∵点A的横坐标为4，
∴y=$\frac{3}{4}$×4=3，
∴点A的坐标是（4，3），
∴OA=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
∵OA=$\frac{1}{2}$OB，
∴OB=2OA=10，
∴点B的坐标是（0，-10），
设直线l₂的表达式是y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=3}\\{b=-10}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{13}{4}}\\{b=-10}\end{array}\right.$，
∴直线l₂的函数表达式是y=$\frac{13}{4}$x-10；

（2）将直线l₁沿y轴向上平移5个单位长度得y=$\frac{3}{4}$x+5，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}x+5}\\{y=\frac{13}{4}x-10}\end{array}\right.$得交点的横坐标为6，
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}$×BC•x_D=$\frac{1}{2}$×（10+5）×6=45．

点评 本题考查了两直线相交的问题，待定系数法求直线的解析式，三角形的面积，求出点A、B的坐标是解题的关键．