题目内容
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（-3，0），若将经过A、C两点的直线y=kx+b沿y轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线x=-2。
（1）求直线AC及抛物线的函数表达式；
（2）如果P是线段AC上一点，设△ABP、△BPC的面积分别为S△ABP、S△BPC，且S△ABP：S△BPC=2：3，求点P的坐标；
（3）设⊙Q的半径为1，圆心Q在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在⊙Q与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由，并探究：若设⊙Q的半径为r，圆心Q在抛物线上运动，则当r取何值时，⊙Q与两坐轴同时相切。
（1）求直线AC及抛物线的函数表达式；
（2）如果P是线段AC上一点，设△ABP、△BPC的面积分别为S△ABP、S△BPC，且S△ABP：S△BPC=2：3，求点P的坐标；
（3）设⊙Q的半径为1，圆心Q在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在⊙Q与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由，并探究：若设⊙Q的半径为r，圆心Q在抛物线上运动，则当r取何值时，⊙Q与两坐轴同时相切。
解：（1）∵
沿y轴向下平移3个单位后恰好经过原点，
∴b=3，C（0，3），
将A
代入
，得
，解得k=1，
∴直线AC的函数表达式为
，
∵抛物线的对称轴是直线
∴
解得
∴抛物线的函数表达式为
；
（2）如图，过点B作BD⊥AC于点D，
∵
，
∴
∴
，
过点P作PE⊥x轴于点E，
∵PE∥CO，
∴△APE∽△ACO，
∴
，
∴
∴
，
解得
∴点P的坐标为
；
（3）（Ⅰ）假设⊙Q在运动过程中，存在
与坐标轴相切的情况，
设点Q的坐标为
，
①当⊙Q与y轴相切时，有
，即
，
当
时，得
，
∴
当
时，得
，
∴
②当⊙Q与x轴相切时，有
，即
当
时，得
，即
，解得
，
∴
当
时，得
，即
，解得
，
∴
，
，
综上所述，存在符合条件的⊙Q，其圆心Q的坐标分别为
，
，
，
，
，
（Ⅱ）设点Q的坐标为
，
当⊙Q与两坐标轴同时相切时，有
，
由
，得
，即
，
∵△=
∴此方程无解，
由
，得
，即
，解得
∴当⊙Q的半径
时，⊙Q与两坐标轴同时相切。
沿y轴向下平移3个单位后恰好经过原点， ∴b=3，C（0，3），
将A
代入，得，解得k=1，∴直线AC的函数表达式为
，∵抛物线的对称轴是直线
∴
解得 ∴抛物线的函数表达式为
；（2）如图，过点B作BD⊥AC于点D，
∵
， ∴
∴
，过点P作PE⊥x轴于点E，
∵PE∥CO，
∴△APE∽△ACO，
∴
， ∴
∴
，解得
∴点P的坐标为
；（3）（Ⅰ）假设⊙Q在运动过程中，存在
与坐标轴相切的情况，设点Q的坐标为
，①当⊙Q与y轴相切时，有
，即，当
时，得，∴
当
时，得，∴
②当⊙Q与x轴相切时，有
，即当
时，得，即，解得，∴
当
时，得，即，解得，∴
，，综上所述，存在符合条件的⊙Q，其圆心Q的坐标分别为
，，，，，（Ⅱ）设点Q的坐标为
，当⊙Q与两坐标轴同时相切时，有
，由
，得，即， ∵△=
∴此方程无解，
由
，得，即，解得 ∴当⊙Q的半径
时，⊙Q与两坐标轴同时相切。 
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