Question

3．△ABC内接于圆O，CD⊥AB于D，CD=DB=3，AD=1，点P为$\widehat{AC}$上一点，求$\frac{\sqrt{10}}{2}$DP+CP的最小值．

Answer 1

分析 如图，作OE⊥CD于E，OF⊥AB于F，连接OP、OA、OC，延长CD交⊙O于M，连接OD延长OD交CA的延长线于K，连接PK．只要证明△POD∽△KOP，可得$\frac{PD}{PK}$=$\frac{OD}{OP}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$，推出PK=$\frac{\sqrt{10}}{2}$PD，推出PC+$\frac{\sqrt{10}}{2}$=PC+PK，由PC+PK≥KC，可知当点P与点A重合时，PC+PK的值最小，由此即可解决问题．

解答 解：如图，作OE⊥CD于E，OF⊥AB于F，连接OP、OA、OC，延长CD交⊙O于M，连接OD延长OD交CA的延长线于K，连接PK．

∵CD=DB=3，AD=1，
又∵CD•DM=AD•DB，
∴DM=1，易知四边形OEDF是矩形，
∵CE=EM=2，AF=BF=2，
∴DF=DE=1，
∴四边形OEDF是正方形，
∴OE=1，CO=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴AO²+OC²=AC²，
∴∠AOC=90°，
∴∠ODC=∠OCK=45°，∵∠COD=∠COK，
∴△COD∽△KOC，
∴OC²=OD•OK，
∵OP=OC，
∴OP²=OD•OK，∵∠POD=∠POK，
∴△POD∽△KOP，
∴$\frac{PD}{PK}$=$\frac{OD}{OP}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$，
∴PK=$\frac{\sqrt{10}}{2}$PD，
∴PC+$\frac{\sqrt{10}}{2}$=PC+PK，
∵PC+PK≥KC，
∴当点P与点A重合时，PC+PK的值最小，
∴PC+$\frac{\sqrt{10}}{2}$的最小值=$\frac{\sqrt{10}}{2}$•AD+AC=$\frac{\sqrt{10}}{2}$×1+$\sqrt{10}$=$\frac{3}{2}$$\sqrt{10}$．

点评 本题考查三角形的外接圆与外心、最短问题、相似三角形的判定和性质、垂径定理、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造相似三角形解决问题，题目比较难，属于竞赛题．