Question

在面积为24的△ABC中，矩形DEFG的边DE在AB上运动，点F、G分别在BC、AC上．

（1）若AE=8，DE=2EF，求GF的长；

（2）若∠ACB=90°，如图2，线段DM、EN分别为△ADG和△BEF的角平分线，求证：MG=NF．

Answer 1

（1）解：作CH⊥AB于H，交GF于K，如图1，

∵S_△ABC=×AB×CH=24，AB=8，

∴CH=6，

设EF=x，则KH=x，GF=DE=2x，CK=6﹣x，

∵GF∥AB，

∴△CGF∽△CAB．

∴=，即=

∴x=2.4，

∴GF=4.8；

（2）证明：过点G、D分别作GP∥BC，DP∥EN，它们相交于点P，在DM上截取DQ=DP，连接QG，如图2，

在△GPD和△FNE中

∴△GPD≌△FNE，

∴FN=GP，

∵线段DM、EN分别为△ADG和△BEF的角平分线，

∴∠MDG=∠FEN=∠GDP=45°，

在△GDQ和△GDP中

，

∴△GPD≌△GQD，

∴GQ=GP，∠GQD=∠GPD，

∵GP∥BC，

∴∠MGP=∠C=90°，

而∠MDP=45°+45°=90°，

∴∠GMD+∠GPD=180°，

而∠GMD+∠GMQ=180°，

∴∠GMQ=∠GQM，

∴GM=GQ，

∴MG=NF．