Question

⊙O的半径为1，以O为原点建立直角坐标系，正方形ABCD的顶点B的坐标为（5，0），点D在⊙O上运动，当CD与圆相切时，直线OD的解析式为

y=-

4

3

x或y=-

3

4

x

．

Answer 1

分析：分两种情况：①D₁点在第二象限时；②D₂点在第四象限时；再根据相似三角形的性质，可得比例关系式，代入数据可得CD所在直线对应的函数关系．

解答：解：直线CD与⊙O相切分两种情况：
①如图1，设D₁点在第二象限时，
过D₁作D₁E₁⊥x轴于点E₁，设此时的正方形的边长为a，
∴（a-1）²+a²=5²，
∴a=4或a=-3（舍去），
∵Rt△BOA∽Rt△D₁OE₁
∴

OE 1

OA

=

D1E1

BA

=

OD1

OB

，
∴OE₁=

3

5

，D₁E₁=

4

5

，
∴D₁（-

3

5

，

4

5

），
代入y=kx，

4

5

=-

3

5

k，
∴k=-

4

3

，
∴直线OD的函数关系式为y=-

4

3

x，

②如图2，设D₂点在第四象限时，过D₂作D₂E₂⊥x轴于点E₂，
设此时的正方形的边长为b，则（b+1）²+b²=5²，
解得b=3或b=-4（舍去）．
∵Rt△BOA∽Rt△D₂OE₂，
∴

OE2

AO

=

D2E2

AB

=

OD2

BO

，
∴OE₂=

4

5

，D₂E₂=

3

5

，
∴D₂（

4

5

，-

3

5

），
代入y=ax，
-

3

5

=

4

5

a，
∴k=-

3

4

，
∴直线OD的函数关系式为y=-

3

4

x，
故答案为：y=-

4

3

x或y=-

3

4

x．

点评：此题主要考查了一次函数的综合应用，本题难度较大，要求学生有较强的综合分析能力及数形结合分析解决问题的能力．