Question

8．等边△ABC，延长BC至D，使得CD=BC，M为BC一点，F为AM延长线一点，且∠AFD=60°，射线AC交DF于N，求证：AM=MN．

Answer 1

分析 作辅助线，构建全等三角形，根据两个三角形有两个角分别相等，则第三个角相等，得∠BAM=∠FDM，证明△ABM≌△DCN，得BM=CN，根据等边△MHC，证明△AHM≌△NCM，得出结论AM=MN．

解答 证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AC=BC=AB，
在△ABM和△FMD中，
∵∠ABC=∠AFD=60°，∠AMB=∠FMD，
∴∠BAM=∠FDM，
∵∠ABC=∠NCD=60°，DC=BC=AB，
∴△ABM≌△DCN，
∴BM=CN，
过M作MH∥AB，交AC于H，
∴∠HMC=∠ABC=60°，
∵∠ACB=60°，
∴∠MHC=60°，
∴△MHC是等边三角形，
∴MC=MH=CH，
∵AC=BC，
∴AC-HC=BC-CM，
即AH=BM，
∴AH=CN，
∵∠AHM=180°-60°=120°，
∠MCN=180°-60°=120°，
∴∠AHM=∠MCN，
∴△AHM≌△NCM，
∴AM=MN．

点评 本题考查了等边三角形和全等三角形的性质和判定，作辅助线，构建△AHM和△NCM，证明△AHM≌△NCM是关键，本题多次运用了等边三角形的性质：各边相等且每个角为60°；为三角形全等创造条件，从而得出结论．