Question

16．如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上的一点，点D是$\widehat{BC}$的中点，过D作⊙O的切线交AC于E，DE=3，CE=1．
（1）求证：DE⊥AC；
（2）求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连接AD，由DE是⊙O的切线，得到∠ODE=90°，根据等腰三角形的性质得到∠ODA=∠OAD，等量代换得到∠CAD=∠ODA，根据平行线的判定 定理得到AE∥OD，于是得到结论；
（2）作OF⊥AC于F，推出四边形OFED是矩形，根据矩形的性质得到OF=ED=3，OD=EF，设⊙O的半径为R，则AF=CF=R-1，根据勾股定理列方程即可得到结论．

解答 （1）证明：连接AD，
∵DE是⊙O的切线，
∴∠ODE=90°，
∵D是$\widehat{BC}$的中点，
∴$\widehat{BD}$=$\widehat{CD}$，
∴∠CAD=∠OAD，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠CAD=∠ODA，
∴AE∥OD，
∴∠AED=180°-∠ODE=90°，
∴DE⊥AC；

（2）解：作OF⊥AC于F，
 则AF=CF，四边形OFED是矩形，
∴OF=ED=3，OD=EF，
设⊙O的半径为R，则AF=CF=R-1，
在Rt△AOF中，AF²+OF²=OA²，
∴（R-1）²+3²=R²，
解得R=5，
即⊙O的半径为5．

点评 本题考查了切线的性质，圆心角，弧，弦的关系，正确的作出辅助线是解题的关键．