Question

11．如图，Rt△ABC中，∠C=90°、∠BAC=30°，在AC边上取点O画圆使⊙O经过A、B两点，延长BC交⊙O于D；求证：A、B、D是⊙O的三等分点．

Answer 1

分析 根据垂径定理求出DC=BC，由线段垂直平分线的性质得出AD=AB，证出△ADB是等边三角形，由圆心角、弧、弦的关系得出$\widehat{AD}=\widehat{AB}=\widehat{BD}$即可．

解答 证明：∵∠ACB=90°，
即AC⊥BD，
∴DC=BC，
∴AD=AB，
∵∠BAC=30°，
∴∠ABC=60°，
∴△ADB是等边三角形，
∴AD=AB=BD，
∴$\widehat{AD}=\widehat{AB}=\widehat{BD}$，
即A、B、D是⊙O的三等分点．

点评 本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质；熟练掌握圆心角、弧、弦的关系定理，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．