Question

7．分别以△ABC的两边AB、AC向形外作等边△ABD和等边△ACE，BE、CD分别交AC、AB于点H、G，BE、CD相交于点F，连结AF并延长交BC于M点，则下列结论中正确的是（　　）
①△ADC≌△ABE      
②BE=CD      
③∠DFB=60°
④AM平分∠BAC      
⑤FM平分∠BFC．

• A． ①②③
• B． ①②③④
• C． ①②③⑤
• D． ①②③④⑤

Answer 1

分析 由三角形ABD与三角形ACE都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，两三角形的内角都为60°，利用等式的性质得到∠DAC=∠BAE，利用SAS可得出①正确；利用全等三角形的对应边相等即可得到BE=CD，②正确；利用全等三角形的对应角相等得到∠ACD=∠AEB，再由对顶角相等和三角形内角和定理得出③正确；④不正确；证出四点共圆，由圆周角定理证出∠DFA=∠ABD=60°，∠AFE=∠ACE=60°，由对顶角相等得出∠CFM=∠BFM=60°，得出⑤正确；即可得出结论．

解答 解：①∵△ABD和△ACE都为等边三角形，
∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=∠AEC=∠ACE=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，
在△ADC和△ABE中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}&{\;}\\{∠DAC=∠BAE}&{\;}\\{AC=AE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△ABE（SAS），①正确；
②∵△ADC≌△ABE，
∴BE=DC，②正确；
③∵△ADC≌△ABE，
∴∠ADG=∠FBG，
又∵∠AGD=∠FGB，
∴∠DFB=∠BAD=60°，③正确；
④不正确；
⑤∴∠ADC=∠ABE，∠ACD=∠AEB，
∴A，D，B，F四点共圆，A，E，C，F四点共圆，
∴∠DFA=∠ABD=60°，∠AFE=∠ACE=60°，
∴∠CFM=∠BFM=60°，
∴FM平分∠BFC，⑤正确；
故选：C．

点评 此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，四点共圆，圆周角定理等知识，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解本题的关键．