Question

13．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是△ABC内一点，AD=BD，且AD⊥BD，连接CD．过点C作CE⊥BC交AD的延长线于点 E，连接BE．过点D作DF⊥CD交BC于点F．
（1）若BD=DE=$\sqrt{5}$，CE=$\sqrt{2}$，求BC的长；
（2）若BD=DE，求证：BF=CF．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理求出BE的长，进而再次利用勾股定理求出BC的长；
（2）连接AF，首先利用ASA证明出△BDF≌△EDC，得到DF=CD，进而得到∠ADF=∠BDC，再次利用SAS证出△ADF≌△BDC，结合题干条件得到AF⊥BC，利用等腰三角形的性质得到结论．

解答 解：（1）∵BD⊥AD，点E在AD的延长线上，
∴∠BDE=90°，
∵BD=DE=$\sqrt{5}$，
∴BE=$\sqrt{B{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∵BC⊥CE，
∴∠BCE=90°，
∴BC=$\sqrt{B{E}^{2}-C{E}^{2}}$=$\sqrt{10-2}$=2$\sqrt{2}$；
（2）连接AF，

∵CD⊥BD，DF⊥CD，
∴∠BDE=∠CDF=90°，
∴∠BDF=∠CDE，
∵CE⊥BC，
∴∠BCE=90°，
∴∠DBC=∠CED，
在△BDF和△EDC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠DBF=∠DEC}\\{BD=DE}\\{∠BDF=∠CDE}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△EDC（ASA），
∴DF=CD，
∴∠CFD=∠DCF=45°，
∵∠ADB=∠CDF，
∴∠ADB+∠BDF=∠CDF+∠BDF，
∴∠ADF=∠BDC，
在△ADF和△BDC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AD=BD}\\{∠ADF=∠BDC}\\{DF=CD}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△BDC（SAS），
∴∠AFD=∠BCD，
∴∠AFD=45°，
∴∠AFC=∠AFD+∠CFD=90°，
∴AF⊥BC，
∴AB=AC，
∴BF=CF．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，特别是第二问需要利用ASA和SAS证明三角形全等，此题有一定的难度．