题目内容
如图，在平面直角坐标系中，点A（-5，0），以OA为半径作半圆，点C是第一象限内圆周上一动点，连结AC、BC，并延长BC至点D，使CD=BC，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线AC于点E、F，点E为垂足，连结OF．（1）当∠BAC=30°时，求△ABC的面积；
（2）当DE=8时，求线段EF的长；
（3）在点C运动过程中，是否存在以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：圆的综合题
专题：
分析：（1）根据圆周角定理求得∠ACB=90°，根据30°角的直角三角形的性质求得BC，进而根据勾股定理求得AC，然后根据三角形面积公式即可求得；
（2）连接AD，由垂直平分线的性质得OD=OA=10，又DE=8，在Rt△ODE中，由勾股定理求AE，依题意证明△AEF∽△DEB，利用相似比求EF；
（3）存在．当以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似时，分为两种情况：①当交点E在O，B之间时；②当点E在O点的左侧时；分别求E点坐标．
（2）连接AD，由垂直平分线的性质得OD=OA=10，又DE=8，在Rt△ODE中，由勾股定理求AE，依题意证明△AEF∽△DEB，利用相似比求EF；
（3）存在．当以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似时，分为两种情况：①当交点E在O，B之间时；②当点E在O点的左侧时；分别求E点坐标．
解答：
解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
在RT△ABC中，AB=10，∠BAC=30°，
∴BC=
AB=5，
∴AC=
=5
，
∴S△ABC=
AC•BC=
×5
×5=
（2）连接AD，
∵∠ACB=90°，CD=BC，
∴AD=AB=10，
∵DE⊥AB，
∴AE=
=
=6，
∴BE=AB-AE=4，
∴DE=2BE，
∵∠DFC=∠DBE∠DFC=∠AFE，
∴∠AFE=∠DBE，
∵∠AEF=∠DEB=90°，
∴△AEF∽△DEB，
∴
=
=2，
∴EF=
AE=
×6=3；
（3）连接EC，设E（x，0），
当
的度数为60°时，点E恰好与原点O重合；
①0°＜
的度数＜60°时，点E在O、B之间，∠EOF＞∠BAC=∠D，必须令∠EOF=∠EBD，此时有△EOF∽△EBD，
∴
=
，
∵EC是RT△BDE斜边的中线，
∵CE=CB，
∴∠CEN=∠EBD，
∴∠EOF=∠CEB，
∴OF∥CE，
∴
=
=
∴
=
，即
=
，
解得x=
，因为x＞0，
∴x
，
②60°＜
的度数＜90°时，点E在O点的左侧，
若∠EOF=∠B，则OF∥BD，
∴OF=
BC=
BD，
∴
=
=
，即
=
，解得x=-
，
若∠EOF=∠BAC，则x=-
，
综上，点E的坐标为（
，0）、（-
，0）、（-
，0）．
解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，
在RT△ABC中，AB=10，∠BAC=30°，
∴BC=
| 1 |
| 2 |
∴AC=
| AB2-BC2 |
| 3 |
∴S△ABC=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
25
| ||
| 2 |
（2）连接AD，
∵∠ACB=90°，CD=BC，
∴AD=AB=10，
∵DE⊥AB，
∴AE=
| AD2-DE2 |
| 102-82 |
∴BE=AB-AE=4，
∴DE=2BE，
∵∠DFC=∠DBE∠DFC=∠AFE，
∴∠AFE=∠DBE，
∵∠AEF=∠DEB=90°，
∴△AEF∽△DEB，
∴
| AE |
| EF |
| DE |
| BE |
∴EF=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
（3）连接EC，设E（x，0），
当
 |
| BC |
①0°＜
|
| BC |
∴
| OE |
| BE |
| OF |
| BD |
∵EC是RT△BDE斜边的中线，
∵CE=CB，
∴∠CEN=∠EBD，
∴∠EOF=∠CEB，
∴OF∥CE，
∴
| AO |
| AE |
| OF |
| CE |
| 2OF |
| BD |
∴
| AO |
| AE |
| 2OE |
| BE |
| 5 |
| 5+x |
| 2x |
| 5-x |
解得x=
-15±5
| ||
| 4 |
∴x
-15+5
| ||
| 4 |
②60°＜
|
| BC |
若∠EOF=∠B，则OF∥BD，
∴OF=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
∴
| OF |
| BD |
| OE |
| BE |
| 1 |
| 4 |
| -x |
| 5-x |
| 1 |
| 4 |
| 5 |
| 3 |
若∠EOF=∠BAC，则x=-
| 5 |
| 2 |
综上，点E的坐标为（
-15+5
| ||
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 2 |
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用，圆周角定理，关键是理解题意，根据基本条件，图形的性质，分类求解．
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| A、28°27′30″ |
| B、27°15′30″ |
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