Question

（2012•顺义区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx²+2mx+n经过点A（-4，0）和点B（0，3），
（1）求抛物线的解析式；
（2）向右平移上述抛物线，若平移后的抛物线仍经过点B，求平移后抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，试问：在平移后的抛物线上是否存在一点P，使△OA′P的面积与四边形AA′B′B的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）将点A及点B的坐标代入抛物线方程，利用待定系数法求出m、n即可．
（2）令y=3，解出x的值，从而根据平移后的抛物线仍经过点B，可得出平移的长度，继而可得出平移后抛物线的解析式．
（3）先求出四边形AA′B′B的面积，然后设P点的纵坐标为y_P，利用面积相等可得出方程，解出即可得出点P的坐标．

解答：解：（1）由题意得，抛物线y=mx²+2mx+n经过点A（-4，0）和点B（0，3），
故可得：

16m-8m+n=0 n=3.

，
解得：

m=- 3 8 n=3.

．
即抛物线的解析式为：y=-

3

8

x2-

3

4

x+3．

（2）令y=3，得-

3

8

x2-

3

4

x+3=3，得x₁=0，x₂=-2，
∵抛物线向右平移后仍经过点B，
∴抛物线向右平移2个单位，
∵y=-

3

8

x2-

3

4

x+3=-

3

8

(x2+2x+1)+

3

8

+3=-

3

8

(x+1)2+

27

8

，
∴平移后的抛物线解析式为y=-

3

8

(x-1)2+

27

8

．

（3）由抛物线向右平移2个单位，得A'（-2，0），B'（2，3），
又∵四边形AA'B'B为平行四边形，
∴其面积=AA'•OB=2×3=6，
设P点的纵坐标为y_P，由△OA'P的面积=6，
故可得

1

2

OA′•|yP|=6，即

1

2

×2•|yP|=6，
解得：|y_P|=6，y_P=±6，
当y_P=6时，方程-

3

8

(x-1)2+

27

8

=6无实根，
当y_P=-6时，方程-

3

8

(x-1)2+

27

8

=-6的解为x₁=6，x₂=-4．
故点P的坐标为（6，-6）或（-4，-6）．

点评：此题考查了二次函数的综合题，综合考察的知识点较多，本题的关键之处是第二问，需要我们确定平移的长度，在第三问的求解中注意方程思想的运用．