题目内容
（2012•顺义区一模）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠C=60°，我们把菱形ABCD的对称中心称作菱形的中心．菱形ABCD在直线l上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过1次这样的操作菱形中心O所经过的路径长为
π
π；经过18次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为
n为正整数）次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为
nπ
nπ．（结果都保留π）
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
(4
+2)π
| 3 |
(4
+2)π
；经过3n（| 3 |
n为正整数）次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为2
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
分析：从图中可以看出，第一次旋转是以点A为圆心，那么菱形中心旋转的半径就是OA，解直角三角形可求出OA的长，圆心角是60度．第二次还是以点A为圆心，那么菱形中心旋转的半径就是OA，圆心角是60度．第三次就是以点B为旋转中心，OB为半径，旋转的圆心角为60度．旋转到此菱形就又回到了原图．故这样旋转18次，就是这样的6个弧长的总长，依此计算即可得，进而得出经过3n（n为正整数）次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长．
解答：
解：∵菱形ABCD中，AB=2，∠C=60°，
∴△ABD是等边三角形，
BO=DO=1，
AO=
=
，
第一次旋转的弧长=
=
π，
∵第一、二次旋转的弧长和=
+
=
π+
π=
π，
第三次旋转的弧长为：
=
∵18÷3=6，
故中心O所经过的路径总长=6（
π+
）=（4
+2）π，
故经过3n（n为正整数）次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为：n×（
π+
）=
nπ．
故答案为：
π，（4
+2）π，
nπ．
解：∵菱形ABCD中，AB=2，∠C=60°，∴△ABD是等边三角形，
BO=DO=1，
AO=
| AD2-DO2 |
| 3 |
第一次旋转的弧长=
60π×
| ||
| 180 |
| ||
| 3 |
∵第一、二次旋转的弧长和=
60π×
| ||
| 180 |
60π×
| ||
| 180 |
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
第三次旋转的弧长为：
| 60π×1 |
| 180 |
| π |
| 3 |
∵18÷3=6，
故中心O所经过的路径总长=6（
2
| ||
| 3 |
| π |
| 3 |
| 3 |
故经过3n（n为正整数）次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为：n×（
2
| ||
| 3 |
| π |
| 3 |
2
| ||
| 3 |
故答案为：
| ||
| 3 |
| 3 |
2
| ||
| 3 |
点评：本题主要考查了弧长的计算公式以及菱形的性质，根据已知得出菱形每转动3次一循环进而得出经过路径是解题的关键．
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