Question

12．如图所示，山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面．已知山坡的坡角∠AEF=23°，量得树干倾斜角∠BAC=38°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC=60°，AD=6m．
（1）求∠CAE的度数；
（2）求这棵大树折断前的高度？
（结果精确到个位，参考数据：$\sqrt{2}$=1.4，$\sqrt{3}$=1.7，$\sqrt{6}$=2.4）．

Answer 1

分析 （1）延长BA交EF于点G，根据直角三角形的性质求出∠GAE的度数，再由补角的定义即可得出结论；
（2）过点A作AH⊥CD，垂足为H，在△ADH中，利用锐角三角函数的定义求出DH的长，同理可得出AC的长，由AB=AC+CD即可得出结论．

解答 解：（1）延长BA交EF于点G，在Rt△AGE中，
∵∠E=23°，
∴∠GAE=67°．
又∵∠BAC=38°，
∴∠CAE=180°-67°-38°=75°．

（2）过点A作AH⊥CD，垂足为H．
在△ADH中，
∵∠ADC=60°，AD=6m，
∴DH=AD•cos∠ADC=6cos60°=3，AH=AD•sin∠ADC=6sin60°=3$\sqrt{3}$．
在Rt△ACH中，∠C=180°-75°-60°=45°，
∴CH=AH=3$\sqrt{3}$，
∴AC=$\sqrt{C{H}^{2}+A{H}^{2}}$=$\sqrt{（3\sqrt{3}）^{2}+（3\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{54}$=3$\sqrt{6}$
∴AB=AC+CD=3$\sqrt{6}$+3$\sqrt{3}$+3≈15（米）．
答：这棵大树折断前高约15米．

点评 本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．