Question

2．如图1，两个全等的△ABC和△DEF中，∠ACB=∠DFE=90°，AB=DE，其中点B和点D重合，点F在BC上，将△DEF沿射线BC平移，设平移的距离为x，平移后的图形与△ABC重合部分的面积为y，y关于x的函数图象如图2所示（其中0≤x≤m，m＜x≤3，3＜x≤4时，函数的解析式不同）
（1）填空：BC的长为4；
（2）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过图2观察可知y=0时x=4，即D点从B运动到C平移的距离为4；
（2）当△DEF在平移过程中，与△ABC的重合部分有三种情况，将三种图形分别画出，通过作辅助线构造相似三角形，通过相似三角形对应边的关系，将各边用x表示出来，即可以列出y与x的函数关系式．

解答 解：（1）由图2得当x=4时，y=0，说明此时△DEF与△ABC无重合部分，
则点D从B到C运动的距离为4，即BC=4；
故答案为：4．
（2）当DE经过点A时（如图1），BD=3，CD=1，

∵△ABC≌△DEF．
∴∠EDF=∠BAC．
∵∠ACD=∠BCA
∴△ADC∽△BAC．
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{DC}{AC}$，即$\frac{AC}{4}=\frac{1}{AC}$．AC=2
∴n=2
当0≤x≤2时（如图2），

设ED、EF与AB分别相交于点M，G，作MN⊥BC，垂足为N．
则∠MNB=90°=∠EFD=∠C．
∵∠MDN=∠EDF．
∴△DMN∽△DEF．
∴$\frac{MN}{EF}=\frac{DN}{DF}$，即$\frac{MN}{4}=\frac{DN}{2}$．
∴MN=2DN．
设DN=n，则MN=2n．
同理△BMN∽△BAC．
∴$\frac{MN}{AC}=\frac{BN}{BC}$．即$\frac{2n}{2}=\frac{BN}{4}$，
∴BN=4n，即x+n=4n．
∴n=$\frac{1}{3}$x．
∴S_△BDM=$\frac{1}{2}$•BD•MN=$\frac{1}{2}•x•\frac{2}{3}x=\frac{1}{3}x$²
同理△BGF∽△BAC
∴$\frac{GF}{AC}=\frac{BF}{BC}$，即$\frac{GF}{2}=\frac{x+2}{4}$．
∴GF=$\frac{1}{2}（x+2）$，
∴y=S_△BGF-S_△BDM=$\frac{1}{2}（x+2）•\frac{1}{2}（x+2）-\frac{1}{3}x$²=-$\frac{1}{12}$x²+x+1．
当2＜x≤3时（如图3），

由①知，S_△BDM=$\frac{1}{3}$x²．
∴y=S_△ABC-S_△BDM=$\frac{1}{2}×2×4-\frac{1}{3}x$²=-$\frac{1}{3}$x²+4
当3＜x≤4时（如图4），

设DE与AB相交于点H．
同理△DHC∽△DEF．
∴$\frac{HC}{EF}=\frac{DC}{DF}$，即$\frac{HC}{4}=\frac{4-x}{2}$
∴HC=24-x．
∴y=$\frac{1}{2}•DC•HC=\frac{1}{2}（4-x）•2（4-x）$=x²-8x+16
∴y=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{12}x^2+x+1（0≤x≤2）}\\{-\frac{1}{3}x^2+4（2＜x≤3）}\\{x^2-8x+16（3＜x≤4）}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了平移的性质、相似三角形性质，解题的关键是要找到△DEF运动过程中与△ABC重叠面积的不同情况，通过辅助线构造相似三角形，要注意分类讨论画出对应的图象．