Question

如图，三角板ABC中，∠ACB=90°，AB=2，∠A=30°，三角板ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A₁B₁C，求：
（1）弧AA₁的长；
（2）在这个旋转过程中三角板AC边所扫过的扇形ACA₁的面积；
（3）在这个旋转过程中三角板所扫过的图形面积；
（4）在这个旋转过程中三角板AB边所扫过的图形面积．

Answer 1

分析：（1）根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BC，再根据勾股定理列式求出AC的长，然后利用弧长公式列式计算即可得解；
（2）根据扇形的面积公式列式计算即可得解；
（3）设弧BB₁与AB相交于D，可得△BCD是等边三角形，根据等边三角形的性质求出BD=BC=1，再求出AD的长，然后根据等底等高的三角形的面积相等求出△ACD的面积，再根据三角板所扫过的面积=S_扇形BCD+S_扇形ACA1+S_△ACD，然后列式计算即可得解；
（4）根据垂线段最短的性质，过点C作CE⊥AB于E，根据三角形的面积列式求出CE的长，再根据AB边扫过的面积等于三角板扫过的面积减去△BCE、△A₁CE₁、扇形ECE₁的面积，列式进行计算即可得解．

解答：解：（1）∵∠ACB=90°，AB=2，∠A=30°，
∴BC=

1

2

AB=

1

2

×2=1，
根据勾股定理，AC=

AB2-BC2

=

22-12

=

3

，
∴弧AA₁=

90•π• 3

180

=

3

2

π；

（2）扇形ACA₁的面积=

90•π• 3 2

360

=

3

4

π；

（3）设弧BB₁与AB相交于D，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=90°-30°=60°，
又∵BC=CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴BD=BC=1，
∴AD=AB-BD=2-1=1，
∴S_△ACD=

1

2

S_△ABC=

1

2

×

1

2

×1×

3

=

3

4

，
∴三角板所扫过的图形面积=S_扇形BCD+S_扇形ACA1+S_△ACD，
=

60•π•12

360

+

90•π• 3 2

360

+

3

4

，
=

11

12

π+

3

4

；

（4）过点C作CE⊥AB于E，
S_△ABC=

1

2

AB•CE=

1

2

BC•AC，
即

1

2

×2×CE=

1

2

×1×

3

，
解得CE=

3

2

，
S_△BCE+S_△A1CE1=S_△ABC=

1

2

×1×

3

=

3

2

，
S_扇形ECE1=

90•π•( 3 2 )2

360

=

3

16

π，
∴AB边所扫过的图形面积=（

11

12

π+

3

4

）-

3

2

-

3

16

π=

35

48

π-

3

4

．

点评：本题考查了旋转的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，弧长的计算，扇形的面积公式，仔细分析图形确定出三角板本身以及边AC、AB所扫过的面积的组成是解题的关键．