Question

7．（1）阅读并填空：如图①，BD、CD分别是△ABC的内角∠ABC、∠ACB的平分线．
试说明∠D=90°+$\frac{1}{2}$∠A的理由．
解：因为BD平分∠ABC（已知），
所以∠1=$\frac{1}{2}$∠ABC（角平分线定义）．
同理：∠2=$\frac{1}{2}$∠ACB．
因为∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠1+∠2+∠D=180°，（三角形的内角和等于180°），
所以∠D=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）（等式性质）．
即：∠D=90°+$\frac{1}{2}$∠A．
（2）探究，请直接写出结果，无需说理过程：
（i）如图②，BD、CD分别是△ABC的两个外角∠EBC、∠FCB的平分线．试探究∠D与∠A之间的等量关系．
答：∠D与∠A之间的等量关系是∠D=90°-$\frac{1}{2}$∠A．
（ii）如图③，BD、CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线．试探究∠D与∠A之间的等量关系．
答：∠D与∠A之间的等量关系是∠D=$\frac{1}{2}$∠A．
（3）如图④，△ABC中，∠A=90°，BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB，CD是△ABC的外角∠ACE的平分线．试说明DC=CF的理由．

Answer 1

分析 （1）、（2）、（3）关键“三角形的一个内角等于和它不相邻的两个外角的和”、“三角形的内角和等于180°”及等式的性质分析求解．
（4）利用前三个小题的结论，证明∠D=∠DFC即可．

解答 （1）解：因为BD平分∠ABC（已知），
所以∠₁=$\frac{1}{2}$∠ABC （角平分线定义）．
同理：∠2=$\frac{1}{2}$∠ACB．
因为∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠1+∠2+∠D=180°（三角形的内角和等于180°），
所以∠D=180°-（∠₁+∠₂）=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）
=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=90°+$\frac{1}{2}$∠A（等式性质）．
即：∠D=90°+$\frac{1}{2}$∠A．
（2）解：（i）∠D与∠A之间的等量关系是：∠D=90°-$\frac{1}{2}$∠A．
理由：∵BD、CD分别是△ABC的两个外角∠EBC、∠FCB的平分线，
∴∠EBD=∠DBC，∠BCD=∠DCF，
∴∠DBC+∠DCB+∠D=180°，
∴∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
而∠ABC=180°-2∠DBC，
∠ACB=180°-2∠DCB，
∴∠A+180°-2∠DBC+180°-2∠DCB=180°，
∴∠A-2（∠DBC+∠DCB）=-180°，
∴∠A-2（180°-∠D）=-180°，
∴∠A-2∠D=180°，
∴∠D=90°-$\frac{1}{2}∠A$
（ii）∠D与∠A之间的等量关系是：∠D=$\frac{1}{2}$∠A．
理由：∵BD、CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，
∴∠DCE=∠DBC+∠D，
∵∠A+2∠DBC=2∠DCE
∴∠A+2∠DBC=2∠DBC+2∠D
∴∠A=2∠D
即：∠D=$\frac{1}{2}∠A$
（3）解：因为  BD平分∠ABC（已知），
所以∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC（角平分线定义）．
同理：∠ACF=$\frac{1}{2}$∠ACB，∠DCA=∠DCE=$\frac{1}{2}$∠ACE．
∵∠ACE=∠ABC+∠A，∠DCE=∠DBC+∠D（三角形的一个外角
等于两个不相邻的内角和），
∴∠D=∠DCE-∠DBC=$\frac{1}{2}$（∠ACE-∠ABC）=$\frac{1}{2}$∠A．
又∵∠A=90°（已知），
∴∠D=45°（等式性质）．
∵∠ACB+∠ACE=180°（平角的定义），
∴∠FCD=∠FCA+∠ACD=$\frac{1}{2}$（∠BCA+∠ACE）=90°．
∵∠D+∠DFC+∠FCD=180°（三角形的内角和等于180°），
∴∠DFC=45°（等式性质）．
∴∠D=∠DFC（等量代换）．
∴DC=FC．（等角对等边）．

点评 本题考查了三角形的外角性质的应用，能熟记三角形外角性质定理是解此题的关键，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．