Question

7．先观察表格，再解决问题．

项数	第一项	前两项	前三项	前四项	前五项
式子①	1	1+2	1+2+3	1+2+3+4	1+2+3+4+5
式子②	12	12+22	12+22+32	12+22+32+42	12+22+32+42+52
两个式子的比	1	$\frac{3}{5}$	$\frac{3}{7}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{3}{11}$

（1）1+2+3+4+5+…+40=820（直接写出结果）；
（2）计算1²+2²+3²+4²+…+40²的值；
（3）计算2²+4²+6²+8²+…+40²的值．

Answer 1

分析 （1）这是一个等差数列，根据高斯求和公式直接求出即可；
（2）观察表格的规律，式子①与式子②的比值通式为$\frac{3}{2n+1}$，根据（1）和这个通式即可求得结论；
（3）把2²+4²+6²+8²+…+40²化为2²×（1²+2²+3²+4²+…+20²），根据（2）即可求得结论．

解答 解：（1）1+2+3+4+5+…+40=$\frac{1}{2}$（1+40）×40=820，
故答案为：420；
（2）1²+2²+3²+4²+…+40²=$\frac{81}{3}$×（1+2+3+4+5+…+40）=$\frac{81}{3}$×820=22140；
（3）1+2+3+4+5+…+20=$\frac{1}{2}$×（1+20）×20=210
1²+2²+3²+4²+…+20²=$\frac{41}{3}$×（1+2+3+4+5+…+20）=$\frac{41}{3}$×210=2870，
2²+4²+6²+8²+…+40²=2²×（1²+2²+3²+4²+…+20²）=4×2870=11480．

点评 本题主要考查了等差数列，数字的变化，能根据表格的规律，得到式子①与式子②的比值通式为$\frac{3}{2n+1}$是解题的关键．