Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的⊙O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB＝∠DCE．

（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若AB＝，BC＝2，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）直线CE与⊙O相切，理由见解析；（2）⊙O的半径为

【解析】

（1）首先连接OE，由OE=OA与四边形ABCD是矩形，易求得∠DEC+∠OEA=90°，即OE⊥EC，即可证得直线CE与⊙O的位置关系是相切；
（2）首先易证得△CDE∽△CBA，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求得DE的长，又由勾股定理即可求得AC的长，然后设OA为x，即可得方程，解此方程即可求得⊙O的半径．

解：（1）直线CE与⊙O相切．…

理由：连接OE，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，BC∥AD，CD＝AB，

∴∠DCE+∠DEC＝90°，∠ACB＝∠DAC，

又∠DCE＝∠ACB，

∴∠DEC+∠DAC＝90°，

∵OE＝OA，

∴∠OEA＝∠DAC，

∴∠DEC+∠OEA＝90°，

∴∠OEC＝90°，

∴OE⊥EC，

∵OE为圆O半径，

∴直线CE与⊙O相切；…

（2）∵∠B＝∠D，∠DCE＝∠ACB，

∴△CDE∽△CBA，

∴ ，

又CD＝AB＝，BC＝2，

∴DE＝1

根据勾股定理得EC＝，

又，…

设OA为x，则，

解得，

∴⊙O的半径为．