Question

已知，抛物线的顶点为P（3，-2），且在x轴上截得的线段AB=4．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点Q在抛物线上，且△QAB的面积为12，求Q点的坐标．

Answer 1

考点：待定系数法求二次函数解析式,三角形的面积

专题：计算题

分析：（1）先根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的两交点坐标为（1，0）、（5，0），则可设交点式y=a（x-1）（x-5），然后把P点坐标代入求出a即可；
（2）设Q（a，b），根据三角形面积公式得到

1

2

•4•|y|=12，解得y=6或y=-6，然后把y的值代入（1）中的解析式求出对应的x的值即可得到Q点坐标．

解答：解：（1）∵抛物线的顶点为P（3，-2），
∴抛物线的对称轴为直线x=3，
而抛物线在x轴上截得的线段AB=4，
∴抛物线与x轴的两交点坐标为（1，0）、（5，0），
设抛物线解析式为y=a（x-1）（x-5），
把P（3，-2）代入得a•（3-1）（3-5）=-2，解得a=

1

2

，
∴抛物线解析式为y=

1

2

（x-1）（x-5）=

1

2

x²-3x+

5

2

；
（2）设Q（a，b），
∵△QAB的面积为12，
∴

1

2

•4•|y|=12，解得y=6或y=-6，
当y=6时，

1

2

x²-3x+

5

2

=6，解得x₁=-1，x₂=7，
当y=-6时，

1

2

x²-3x+

5

2

=-6，无实数解，
∴Q点的坐标为（-1，6）、（7，6）．

点评：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．