Question

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3cm，AC=4cm，AD是高线，AE是中线．
（1）以点A为圆心，3cm为半径作⊙A，则点B，D，E，C与⊙A的位置关系怎样？
（2）若以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围．

Answer 1

考点：点与圆的位置关系

专题：

分析：（1）先利用勾股定理计算出BC=5cm，再利用面积法求出AD=

12

5

cm，根据直角三角形斜边上的中线性质得AE=2.5cm，则AB=r，AD＜r，AE＜r，AC＞r，
然后根据点与圆的位置关系进行判断；
（2）根据题意点D只能在圆内，点C只能在圆外，所）⊙A的半径r的取值范围为

12

5

＜r＜4．

解答：解：（1）∵∠BAC=90°，AB=3cm，AC=4cm，
∴BC=

AB2+AC2

=5cm，
∵

1

2

AD•BC=

1

2

AB•AC，
∴AD=

12

5

cm，
∵AE是中线，
∴AE=

1

2

BC=2.5cm，
∵r=3cm，
∴AB=r，AD＜r，AE＜r，AC＞r，
∴点B在⊙A上，点D、点E在⊙A内，点C在⊙A外；

（2）⊙A的半径r的取值范围为

12

5

＜r＜4．

点评：本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外?d＞r；点P在圆上?d=r；点P在圆内?d＜r．