Question

13．如图所示，直线AB与双曲线y=$\frac{k}{x}$交于A，B两点，直线AB与x、y坐标轴分别交于C，D两点，连接OA，若OA=2$\sqrt{13}$，tan∠AOC=$\frac{2}{3}$，B（-3，m）
（1）分别求一次函数与反比例函数式．
（2）连接OB，在x轴上求点P的坐标，△AOP的面积等于△AOB的面积．

Answer 1

分析 （1）过A作AE⊥OC与E，根据已知条件和勾股定理得到A（-6，4），由直线AB与双曲线y=$\frac{k}{x}$交于A，B两点，得到k=-6×4=-3m，解方程和方程组即可得到结论；
（2）设P（n，0），根据△AOP的面积等于△AOB的面积，列方程即可得到结论．

解答 解：（1）过A作AE⊥OC与E，
∵tan∠AOC=$\frac{2}{3}$，
∴设AE=2x，OE=3x，
∴AO=$\sqrt{（2x）^{2}+（3x）^{2}}$=$\sqrt{13}$x=2$\sqrt{13}$，
∴x=2，
∴AE=4，OE=6，
∴A（-6，4），
∴线AB与双曲线y=$\frac{k}{x}$交于A，B两点，
∴k=-6×4=-3m，
∴k=-24，m=8，
∴反比例函数式为y=-$\frac{24}{x}$，B（-3，8），
设一次函数的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{8=-3k+b}\\{4=-6k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{3}}\\{b=12}\end{array}\right.$，
∴一次函数的解析式为y=$\frac{4}{3}$x+12；

（2）设P（n，0），
∵△AOP的面积等于△AOB的面积，
∴$\frac{1}{2}$|n|×4=$\frac{1}{2}$（4+8）×3，
∴n=±9，
∴P（9，0）或（-9，0）．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，三角形的面积，比较简单．正确求出函数解析式是解题的关键．