Question

17．如图：已知AD、AE分别是△ABC的高和中线，AB=9cm，AC=10cm，BC=15cm，∠CAB=90°．试求：
（1）△ABE的面积．
（2）AD的长度．
（3）△ACE和△ABE的周长的差．

Answer 1

分析 （1）△AEC与△ABE是等底同高的两个三角形，它们的面积相等；
（2）利用“面积法”来求线段AD的长度；
（3）由于AE是中线，那么BE=CE，于是△ACE的周长-△ABE的周长=AC+AE+CE-（AB+BE+AE），化简可得△ACE的周长-△ABE的周长=AC-AB，易求其值．

解答 解：（1）如图，∵△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，AB=9cm，AC=12cm，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•AC=$\frac{1}{2}$×9×12=54（cm²）．
又∵AE是边BC的中线，
∴BE=EC，
∴$\frac{1}{2}$BE•AD=$\frac{1}{2}$EC•AD，即S_△ABE=S_△AEC，
∴S_△ABE=$\frac{1}{2}$S_△ABC=27（cm²）．
∴△ABE的面积是27cm²．

（2）∵∠BAC=90°，AD是边BC上的高，
∴$\frac{1}{2}$AB•AC=$\frac{1}{2}$BC•AD，
∴AD=$\frac{AB•AC}{BC}$=$\frac{9×12}{15}$=$\frac{36}{5}$（cm），即AD的长度为$\frac{36}{5}$cm；

（3）∵AE为BC边上的中线，
∴BE=CE，
∴△ACE的周长-△ABE的周长=AC+AE+CE-（AB+BE+AE）=AC-AB=12-9=3（cm），即△ACE和△ABE的周长的差是3cm．

点评 本题考查了中线的定义、三角形周长的计算．解题的关键是利用三角形面积的两个表达式相等，求出AD．