Question

【题目】函数y1＝kx2+ax+a的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），函数y2＝kx2+bx+b，的图象与x轴交于点C，D（点C在点D的左侧），其中k≠0，a≠b．

（1）求证：函数y1与y2的图象交点落在一条定直线上；

（2）若AB＝CD，求a，b和k应满足的关系式；

（3）是否存在函数y1和y2，使得B，C为线段AD的三等分点？若存在，求的值，若不存在，说明理由

Answer 1

【答案】(1) 见解析;(2) a+b＝4k ;(3) ＝或

【解析】

(1)使两个函数关系式相等，根据已知求出x的值即可判断；

(2)表示出A、B、C、D的坐标，求出AB、CD，列方程求解即可；

(3)方法与(2)相同，利用三等分点条件，列方程求解即可.

(1)当y1＝y2时，kx2+ax+a＝kx2+bx+b，

∵a≠b，

∴x＝﹣1，

∴函数y1与y2的图象交点落在一条定直线上；

(2)若AB＝CD则xB﹣xA＝xD﹣xC，

A、B、C、D为抛物线与x轴的交点，可得

xA＝，xB＝，

xC＝，xD＝，

代入xB﹣xA＝xD﹣xC得

-=-，

所以a+b＝4k；

(3)因为B、C为线段AD的三等分点，

当点B在点C左侧时，BC=CD，则有xC﹣xD＝xC﹣xB，

∴2xC＝xD+xB，

∴2×＝+，

整理得：a2+b2+14ab＝0，

∴()2++1＝0，

解得＝或；

当点C在点B左侧时，AC=BC，则有xC﹣xA＝xB﹣xC，

∴2xC＝xA+xB，

∴2×＝+，

即＝，

整理得：a-b=，

∵a+b=4k，

∴a-b=，

即a-b=，

a2+b2-ab＝0，

∴()2-+1＝0，

△<0，方程无解，

综上，的值为或.