Question

已知，抛物线经过A(-1，0)，C(2，)两点，

与x轴交于另一点B．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若抛物线的顶点为M，点P为线段OB上一动点 （不与点B重合），点Q在线段MB上移动，且∠MPQ=45°，设线段OP=x，MQ=，求y₂与x的函数关系式，

并直接写出自变量x的取值范围．

 

Answer 1

解：(1) ∵拋物线y₁=ax²-2ax+b经过A(-1，0)，C(0，)两点，

∴，∴，∴拋物线的解析式为y₁= -x²+x+

（2）解法一：过点M作MN⊥AB交AB于点N，连接AM

由y₁= -x²+x+可知顶点M(1，2) ，A(-1，0)，B(3，0)，N(1，0)

∴AB=4，MN=BN=AN=2，AM=MB=.

∴△AMN和△BMN为等腰直角三角形.

∵∠MPA+∠QPB=∠MPA +∠PMA=135°

∴∠QPB=∠PMA

又∵∠QBP=∠PAM=45°∴△QPB∽△PMA

∴  将AM=，AP=x+1，BP=3－x，BQ=代入，

可得，即.

∵点P为线段OB上一动点 （不与点B重合）∴0£x＜3

则y₂与x的函数关系式为y₂=x²-x+(0£x<3)

解法二：

过点M作MN⊥AB交AB于点N.

由y₁= -x²+x+易得M(1，2)，N(1，0)，A(-1，0)，B(3，0)，

∴AB=4，MN=BN=2，MB=2，ÐMBN=45°

根据勾股定理有BM ²-BN ²=PM ²-PN ².    ∴…①，

又ÐMPQ=45°=ÐMBP，∴△MPQ∽△MBP，∴=y₂´2

由j、k得y₂=x²-x+.

∵0£x<3，∴y₂与x的函数关系式为y₂=x²-x+(0£x<3)