Question

如图，已知长方形OABC的两边OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，且点B（4，3），反比例函数y=

k

x

图象与BC交于点D，与AB交于点E，其中D（1，3）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若长方形OABC对角线的交点为F，作FG⊥x轴交直线DE于点G．
①请判断点F是否在此反比例函数y=

k

x

的图象上，并说明理由；
②求FG的长．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）把已知点D的坐标代入反比例函数的解析式，求出其解析式；
（2）①连接AC，OB交于点F，过F作FH⊥x轴于H．根据四边形OABC是矩形和△OFH∽△OBA，求出F点的坐标，代入函数解析式进行验证．
②求出DE的解析式，将G点横坐标代入，求出纵坐标，与F点的纵坐标相减即可得到GF的距离．

解答：解：（1）把D（1，3）代入y=

k

x

，得3=

k

1

，
∴k=3．
∴y=

3

x

．
∴当x=4时，y=

3

4

，
∴E（4，

3

4

）．
（2）①点F在反比例函数的图象上．
理由如下：
连接AC，OB交于点F，过F作FH⊥x轴于H．
∵四边形OABC是矩形，
∴OF=FB=

1

2

OB．
又∵∠FHO=∠BAO=90°，∠FOH=∠BOA，
∴△OFH∽△OBA．
∴

OH

OA

=

FH

BA

=

OF

OB

=

1

2

，
∴OH=2，FH=

3

2

．
∴F（2，

3

2

）．
即当x=2时，y=

3

x

=

3

2

，
∴点F在反比例函数y=

3

x

的图象上．
②设D点坐标为（d，3），E点坐标为（4，e），
将D（d，3）代入y=

3

x

得，

3

d

=3，
解得，d=1，则D（1，3）；
将E（4，e）代入y=

3

x

得，e=

3

4

，
则E（4，

3

4

）；
设DE解析式为y=kx+b，
将D（1，3），E（4，

3

4

）分别代入解析式得：

k+b=3 4k+b= 3 4

，
解得

k=- 3 4 b= 15 4

，函数解析式为y=-

3

4

x+

15

4

．
设G点坐标为（2，g），
代入y=-

3

4

x+

15

4

得：g=

9

4

，
FG=

9

4

-

3

2

=

3

4

．

点评：本题比较复杂，把反比例函数y=

k

x

的图象、矩形的性质及相似三角形的性质相结合，考查了学生对所学知识的综合运用能力．