Question

如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，P为线段BC上的一动点，且和B、C不重合，连接PA，过P作PE⊥PA交CD所在直线于E．

（1）若PA=PE，求证：△ABP≌△PCE；
（2）如图2，若AB=2，BC=4，将△PEC沿PE翻折至△PEG位置，∠BAG=90°，连结CG交PE于F
①求证：四边形APCG是平行四边形；
②求BP长．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）根据直角三角形有一对直角对应相等，另外找一个角和一对对应边相等利用AAS判定两三角形全等即可；
（2）①根据△PEC翻折得△PEG，利用翻折的性质得到PE⊥CG于F，利用同旁内角互补得到PA∥CG，然后又得到AG∥BC，从而利用两组对边平行的四边形是平行四边形判定四边形APCG是平行四边形；
②过点G作GN⊥PC于点N，得四边形ABNG是矩形得到△ABP≌△GNC，从而得到CN=BP，设BP=x，则CN=BP=x，PC=PG=BC-BP=4-x，PN=PC-CN=4-2x，在Rt△GPN中，由勾股定理得列出有关x的方程求解．

解答：解：（1）在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°
∴∠B=∠C=90°，
∴∠BAP+∠APB=90°
又∵PE⊥PA
∴∠APE=90°
∴∠APB+∠CPE=90°
∴∠BAP=∠CPE，
又∵PA=PE
在△ABP与△PCE中，

∠B=∠C=90° ∠BAP=∠CPE PA=PE

∴△ABP≌△PCE；

（2）①∵△PEC翻折得△PEG，
∴PE⊥CG于F，
又∵PE⊥PA
PA∥CG，
又∵∠BAG=90°，∠B=90°
∴AG∥BC
∴四边形APCG是平行四边形；
②过点G作GN⊥PC于点N，得四边形ABNG是矩形
∴AB=GN=2，∠B=∠GNC=90°
∵四边形APCG为平行四边形，
∴AP=CG．
∴△ABP≌△GNC，
∴CN=BP．
设BP=x，则CN=BP=x
PC=PG=BC-BP=4-x，PN=PC-CN=4-2x．
在Rt△GPN中，由勾股定理得：PN²+GN²=PG²，
即：（4-2x）²+2²=（4-x）²，
解得：x=

2

3

或x=2，
∴BP=

2

3

或2；

点评：本题是四边形综合题，考查了全等三角形、相似三角形、勾股定理、梯形、矩形、折叠、函数关系式、二次函数最值等知识点，所涉及考点众多，有一定的难度．