Question

7．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=4．点P是△ABC内的一点，连接PC，以PC为直角边在PC的右上方作等腰直角三角形PCD．连接AD，若AD∥BC，且四边形ABCD的面积为12，则BP的长为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 作PF⊥BC于点F，延长FP交AD于点E，证△PCF≌△DPE得PF=DE、PE=CF，从而得PE=CF=4-x，根据四边形ABCD的面积求得AD的长，据此知AE=BF=2-x、FC=BC-BF=4-（2-x）=2+x，从而得2+x=4-x，求得x的值，由勾股定理得出答案．

解答 解：如图，作PF⊥BC于点F，延长FP交AD于点E，

∵AD∥BC，
∴∠PFC=∠DEP=90°，
∴∠CPF+∠PCF=90°，
∵∠DPC=90°，
∴∠CPF+∠DPE=90°，
∴∠PCF=∠DPE，
在△PCF和△DPE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠PCF=∠DPE}\\{∠PFC=∠DEP}\\{PC=DP}\end{array}\right.$，
∴△PCF≌△DPE（AAS），
∴PF=DE、PE=CF，
设PF=DE=x，则PE=CF=4-x，
∵S_{四边形ABCD}=$\frac{1}{2}$（AD+BC）•AB=12，
∴$\frac{1}{2}$×（AD+4）×4=12，解得AD=2，
∴AE=BF=2-x，
∴FC=BC-BF=4-（2-x）=2+x，
可得2+x=4-x，解得x=1，
∴BP=$\sqrt{B{F}^{2}+P{F}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查全等三角形的判定与性质、矩形的性质、四边形的面积及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．