Question

如图，AC 是▱ABCD 的一条对角线，BE^⊥AC，DF^⊥AC，垂足分别为 E，F．

（1）求证：^△ADF^≌△CBE； 求证：四边形 DFBE 是平行四边形．

Answer 1

【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．

【专题】证明题．

【分析】（1）由平行四边形的性质得出 AD^∥BC，AD=BC，得出内错角相等^∠DAF=^∠BCE，证出

^∠AFD=^∠CEB=90°，由 AAS 证明^△ADF^≌△CBE 即可； 由（1）得：^△ADF^≌△CBE，由全等三角形的性质得出 DF=BE，再由 BE^∥DF，即可得出四边形 DFBE 是平行四边形．

【解答】（1）证明：^∵四边形 ABCD 是平行四边形，

^∴AD^∥BC，AD=BC，

^∴∠DAF=^∠BCE，

^∵BE^⊥AC，DF^⊥AC，

^∴BE^∥DF，^∠AFD=^∠CEB=90°，

在^△ADF 和^△CBE 中，                ，

^∴：^△ADF^≌△CBE（AAS）； 解：如图所示：由（1）得：^△ADF^≌△CBE，

^∴DF=BE，

^∵BE^∥DF，

^∴四边形 DFBE 是平行四边形．

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的 性质，证明三角形全等是解决问题的关键．