Question

【题目】已知抛物线与轴交于点，其关于轴对称的抛物线为：，且经过点和点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）将抛物线沿轴向右平移得到抛物线，抛物线与轴的交点记为点和点（在的右侧），与轴交于点，如果满足与相似，请求出平移后抛物线的表达式．

Answer 1

【答案】（1）的解析式为；（2）平移后抛物线的表达式为或.

【解析】

（1）根据抛物线关于轴对称的原则可以得到均互为相反数，所以可以设：，同时经过点和点，那么也经过点和点，将这两点代入即可求解；

（2）首先根据函数图像的平移原则，设抛物线沿轴向右平移个单位得到抛物线

，继而写出的解析式，然后分别求出点和点的坐标，再结合与相似，可得△DOQ为等腰直角三角形，利用坐标建立方程，求解即可.

解：（1）抛物线和抛物线关于轴对称，且：，

： ，

经过点和点，

经过点和点，

把点和点代入：可得：

，

解得：，

：；

（2）设抛物线沿轴向右平移个单位得到抛物线，

：，

的解析式可以表示为：

，

抛物线与轴的交点为点和点，且在的右侧，

，

抛物线与轴交于点，

，

∵A（-3，0），C（0，3），

∴△AOC为等腰直角三角形，

∴当△AOC和△DOQ相似时，

△DOQ为等腰直角三角形，

∴OQ=OD，

当点Q在y轴正半轴上时，

OQ=OD=OA=OC，

∴，

解得：a=0（舍）或2，

此时：；

当点Q在y轴负半轴时，

OD=OQ，

则，

解得：a=-1（舍）或4，

此时：；

综上：平移后抛物线W3的表达式为：或.