Question

【题目】已知中，过其中一个顶点的直线把分成两个等腰三角形．

（1）如图1，若求的值；

　　　　

（2） 度(除外) ；

（3）如图2，为锐角，在延长线上，在边上，平分交于请求线段三者之者的数量关系． (用表示)

Answer 1

【答案】（1）；（2）90或108或；（3）

【解析】

（1）如图，作底角的平分线BD，得到BD=AD，证得△ABC∽△BCD，得到，通过计算即可求解；

（2）利用三角形内角和定理并分类讨论求解；

（3）过Q作QH∥AP交AK的延长线于点H，作QG⊥AK于G，利用三角函数和等腰三角形的性质求得，，再利用相似三角形的性质得到，即可求得线段三者之者的数量关系．

（1）如图，作底角的平分线BD，

∵AB=AC，，

∴，

∴，

∴BD=AD，

∴△ABC∽△BDC，

∴，即，

∴，

设，则，

∴，

整理得：，

解得：(负值已舍)，

经检验，是原方程的解，

∴；

（2）①如图1，

当过顶角的顶点的直线把它分成了两个等腰三角形，则AB=AC，AD=CD=BD，
设∠B=，
则∠BAD=∠B=，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=，
∴∠CAD=∠C=，
∵∠B+∠BAC+∠C=180°，
∴，
解得，
则；
②如图2，

AB=AC=CD，BD=AD，
设∠C=，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=，
∵BD=AD，
∴∠BAD=∠B=，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=2，
∵AC=CD，
∴∠CAD=∠ADC=2，
∴∠BAC=3，
∴，

，

则；
③如图3，

当过底角的角平分线把它分成了两个等腰三角形，则有AB=AC，BC=BD=AD，
设∠BAC=，
∵BD=AD，
∴∠ABD=∠BAC=，
∴∠CDB=∠ABD+∠BAC=2，
∵BC=BD，
∴∠C=∠CDB=2，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=2，
∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，
∴+2+2=180°，
=36°，
则=36°；
④如图4，

当∠BAC=，AD=BD，BC=DC，也符合，

∴∠BAC=∠ABD=，∠DBC=∠BDC=2，

∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=3，

则+3+3 =180°，

；

综上，除36外，可以是90或108或；

故答案为：90或108或；

（3）过Q作QH∥AP交AK的延长线于点H，作QG⊥AK于G，如图：

∵∠PAQ=，AK平分∠PAQ，

∴∠PAH=∠QAH=，

∴，，

∴，

∴，

∵QH∥AP，

∴△HQK∽△APK，

∴，

∴，

∴，

故答案为：．