Question

【题目】如图，已知正方形ABCD的边长是2，∠EAF＝m°，将∠EAF绕点A顺时针旋转，它的两边分别交BC、CD于点E、F，G是CB延长线上一点，且始终保持BG＝DF．

（1）求证：△ABG≌△ADF；

（2）求证：AG⊥AF；

（3）当EF＝BE+DF时：

①求m的值；

②若F是CD的中点，求BE的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）①45；②．

【解析】

（1）在正方形ABCD中，AB＝AD＝BC＝CD＝2，∠BAD＝∠C＝∠D＝∠ABC＝∠ABG＝90°．已知BG＝DF，所以得出△ABG≌△ADF；

（2）由△ABG≌△ADF，得出∠GAB＝∠FAD，从而得到∠GAF＝∠GAB+∠BAF＝∠FAD+∠BAF＝∠BAD＝90°，得出结论AG⊥AF；

（3）①：由△ABG≌△ADF，AG＝AF，BG＝DF．得到EF＝BE+DF，EF＝BE+BG＝EG．AE＝AE，得出△AEG≌△AEF．所以∠EAG＝∠EAF，∠EAF＝∠GAF＝45°，即m＝45；

②若F是CD的中点，则DF＝CF＝BG＝1．设BE＝x，则CE＝2﹣x，EF＝EG＝1+x．在Rt△CEF中，利用勾股定理得出BE的长为．

解：（1）证明：在正方形ABCD中，如图：

AB＝AD＝BC＝CD＝2，

∠BAD＝∠C＝∠D＝∠ABC＝∠ABG＝90°．

∵BG＝DF，

在△ABG和△ADF中，

，

∴△ABG≌△ADF（SAS）；

（2）证明：∵△ABG≌△ADF，

∴∠GAB＝∠FAD，

∴∠GAF＝∠GAB+∠BAF

＝∠FAD+∠BAF＝∠BAD＝90°，

∴AG⊥AF；

（3）①解：△ABG≌△ADF，

∴AG＝AF，BG＝DF．

∵EF＝BE+DF，

∴EF＝BE+BG＝EG．

∵AE＝AE，

在△AEG和△AEF中．

，

∴△AEG≌△AEF（SSS）．

∴∠EAG＝∠EAF，

∴∠EAF＝∠GAF＝45°，

即m＝45；

②若F是CD的中点，则DF＝CF＝BG＝1．

设BE＝x，则CE＝2﹣x，EF＝EG＝1+x．

在Rt△CEF中，CE 2+CF 2＝EF 2，即（ 2﹣x ） 2+1 2＝（ 1+x ） 2，得x＝．

∴BE的长为．