Question

6．如图，已知AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于E，且与AB的延长线相交于点D，若BD=OB=2，则弦AE的长为2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 连接OE，在RT△ODE中，先求出∠D，DE，∠DOE，再求出∠A，判断出∠A=∠D，即AE=DE即可．

解答 解：如图，

连接OE，BE，
∴OE=OA=OB=2，
∵CD与⊙O相切于E，
∴∠OED=90°，
在RT△ODE中，OE=2，OD=OB+BD=4，
∴tan∠D=$\frac{OE}{OD}$=$\frac{1}{2}$，DE=$\sqrt{O{D}^{2}-O{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴锐角∠D=30°，
∴∠DOE=60°，
∵OA=OE，
∴∠A=∠AEO=$\frac{1}{2}$∠DOE=30°，
∴AE=DE=2$\sqrt{3}$，
故答案为2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了切线的性质，切线的性质主要有，①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．