Question

如图，已知A（-3，1），B（a，-3），是一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=

m

x

的图象的两个交点．
（1）求此一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）因为A（-3，1）、B（a，-3）是一次函数y=kx+b的图象与反比例函数 y=

m

x

的图象的两个交点，把A点坐标代入反比例函数解析式，即可求出m，确定出反比例解析式，然后把B点坐标代入即可求出a的值，从而求出B点坐标，进而把求出的A、B点的坐标代入一次函数y=kx+b的解析式，得到关于k和b的二元一次方程组，求出方程组的解就可求出k、b的值；
（2）设一次函数与y轴交于点D，求出点D的坐标，所以y轴把△AOB的面积分为△AOD和△BOD的面积之和，利用点D纵坐标的绝对值，分别乘以点A和点B横坐标的绝对值，由三角形的面积公式即可求出△AOD和△BOD的面积之和，进而得到△AOB的面积；
（3）根据图象，分别观察交点的那一侧能够使一次函数的值大于反比例函数的值，从而求得x的取值范围．

解答：解：（1）∵点A（-3，1）和点B（a，-3）都在反比例函数y=

m

x

的图象上，
∴m=-3×1=-3，故反比例解析式为y=-

3

x

，
把B（a，-3）代入反比例解析式得：a=1，即B（1，-3），
又由点A（-3，1）和点B（1，-3）都在一次函数y=kx+b的图象上，
∴

-3k+b=1 k+b=-3

，
解得

k=-1 b=-2

．
∴反比例函数的解析式为y=-

3

x

，一次函数的解析式为y=-x-2；

（2）设一次函数y=-x-2与y轴的交点为D，则点D坐标为（0，-2），
根据题意得：S_△AOB=S_△AOD+S_△BOD，
则S_△AOB=

1

2

×|-2|×|-3|+

1

2

×|-2|×1=4；

（3）由图象得：满足题意的x的取值范围为x＜-3或0＜x＜1．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，难度较大．要求学生能够熟练运用待定系数法求得函数的解析式；能够运用数形结合的思想观察两个函数值的大小关系．