题目内容

P是△ABC内一点，AD、BE、CF过点P并且交边BC、CA、AB于D、E、F，则 $数学公式$ =________．

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分析：将AD和PD看作△ABD和△PBD的底，由于两三角形在AD和PD上的高相等，则其面积比等于底的比，同理，S_△CDP：S_△ACD=DP：AD，可推知，S_△BCP：S_△ABC=DP：AD，同理有S_△ABP：S_△ABC=PF：CF，S_△ACP：S_△ABC=PE：BE，将三者相加即可得到 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =（S_△BCP+S_△ABP+S_△ACP）：S_△ABC=1，将原式变形，再求出 $\text{[math]}$ 的比．
解答：证明：如图：∵S_△BDP：S_△ABD=DP：AD，
S_△CDP：S_△ACD=DP：AD，
∴（S_△BDP+S_△CDP）：（S_△ABD+S_△ACD）=DP：AD，

∴S_△BCP：S_△ABC=DP：AD①，
同理S_△ABP：S_△ABC=PF：CF②，
S_△ACP：S_△ABC=PE：BE③，
①+②+③，得
$\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =（S_△BCP+S_△ABP+S_△ACP）：S_△ABC=1．
∴ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$
=1- $\text{[math]}$ +1- $\text{[math]}$ +1- $\text{[math]}$
=3-（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）
=3-1
=2．
故答案为2．
点评：本题考查了三角形的面积，将 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 转化为面积的比是解题的关键．