Question

17．点A，B在直线MN的同侧，A到MN的距离AC=8，B到MN的距离BD=5，已知CD=4，P是直线MN上的一个动点，记PA+PB的最小值为a，|PA-PB|的最大值为b，求a²-b²的值．

Answer 1

分析 作点A关于直线L的对称点A′，连接A′B交直线L于点P，过点A′作直线A′E⊥BD的延长线于点E，再根据勾股定理求出A′B的长就是PA+PB的最小值；
延长AB交MN于点P′，此时P′A-P′B=AB，由三角形三边关系可知AB＞|PA-PB|，故当点P运动到P′点时|PA-PB|最大，作BE⊥AM，由勾股定理即可求出AB的长就是|PA-PB|的最大值．进一步代入求得答案即可．

解答 解：如图，

作点A关于直线L的对称点A′，连接A′B交直线L于点P，
则点P即为所求点．
过点A′作直线AE⊥BD的延长线于点E，则线段A′B的长即为PA+PB的最小值．
∵AC=8cm，BD=5cm，CD=4cm，
∴A′C=8cm，BE=8+5=13cm，A′E=CD=4cm，
∴A′B=$\sqrt{1{3}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{185}$，
即PA+PB的最小值是a=$\sqrt{185}$．
如图，

延长AB交MN于点P′，
∵P′A-P′B=AB，AB＞|PA-PB|，
∴当点P运动到P′点时，|PA-PB|最大，
∵BD=5，CD=4，AC=8，
过点B作BE⊥AC，则BE=CD=4，AE=AC-BD=8-5=3，
∴AB=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5．
∴|PA-PB|=5为最大，
即b=5，
∴a²-b²=185-25=160．

点评 本题考查的是最短线路问题及勾股定理，熟知两点之间线段最短及三角形的三边关系是解答此类问题的关键．