题目内容
【题目】四边形ABCD是正方形，△BEF是等腰直角三角形，∠BEF＝90°，BE＝EF，连接DF，G为DF的中点，连接EG，CG，EC．
（1）问题发现：如图1，若点E在CB的延长线上，直接写出EG与GC的位置关系及
的值；
（1）操作探究：将图1中的△BEF绕点B顺时针旋转至图2所示位置，请问（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（2）解决问题：将图1中的△BEF绕点B顺时针旋转，若BE＝1，AB＝
，当E，F，D三点共线时，请直接写出CE的长．
【答案】（1）
，
；（2）成立，理由见解析；（3）
或
【解析】
（1）过G作GH⊥EC于H，推出EF∥GH∥DC，求出H为EC中点，根据梯形的中位线求出EG=GC，GH=
（EF+DC）=（EB+BC），推出GH=EH=BC，根据直角三角形的判定推出△EGC是等腰直角三角形即可．
（2）延长EG到H，使EG=GH，连接CH、EC，过E作BC的垂线EM，延长CD，证△EFG≌△HDG，推出DH=EF=BE，∠FEG=∠DHG，求出∠EBC=∠HDC，证出△EBC≌△HDC，推出CE=CH，∠BCE=∠DCH，求出△ECH是等腰直角三角形，即可得出答案．
（3）分类讨论，画出图形,根据勾股定理，即可求出EC的长度．
（1）EG⊥CG，，理由是：
如图1，过G作GH⊥EC于H，
∵∠FEB=∠DCB=90°，∴EF∥GH∥DC．
∵G为DF中点，∴H为EC中点．
∴EG=GC，GH=（EF+DC）=（EB+BC），即GH=EH=BC．
∴∠EGC=90°，即△EGC是等腰直角三角形．
∴
（2）结论还成立，理由是：
如图2，延长
到
，使
，连接
、
，
∵在
和
中
∴
，
∴
，
，
∵
∴
∵
∴
在
和
中
∴
．
∴
，
，
∴
，
∴
是等腰直角三角形，
∵
为
的中点，
∴
，
，即（1）中的结论仍然成立；
（3）或 理由如下：
当△BEF在BC的上方时，连接BD，CE
∵在正方形ABCD，AB=AD=
，
∴BD=
．
∴DE=
∴DF=DE-EF=
．
由（1）可知∠EGC=90°
∴CG⊥FD
∵G为FD中点
∴CG垂直平分FD
∴
∴
在Rt△DGC中,
在Rt△ECG中,
当△BEF在BC的上方时，连接BD，CE
在正方形ABCD中，
，∠ABC=90°
∴∠EBC=90°
在Rt△EBC中，
故EC的长为 或
故答案为: 或
探究与巩固河南科学技术出版社系列答案
