Question

6．如图，二次函数y=x²+bx+c与坐标轴交于点A、B、C，且OB=OC=3．
（1）求此二次函数的解析式．
（2）写出顶点坐标和对称轴．
（3）点M、N在y=ax²+bx+c的图象上（点N在点M的右边），且MN∥x轴，求以MN为直径且与x轴相切的圆的半径．

Answer 1

分析 （1）由OB=OC=3，可知两点的坐标分别为B（3，0），C（0，-3），用待定系数法求得解析式；
（2）把解析式变换成顶点式，写出坐标；
（3）由（2）知，对称轴为x=1，当MN在x轴下方时，设圆半径为r，则点N的坐标为（1+r，-r），代入解析式求得r的值，同理求得当MN在x轴上方时r的值．

解答 解：（1）∵OB=OC=3，
∴B（3，0），C（0，-3），
把B（3，0），C（0，-3）分别代入y=x²+bx+c，得$\left\{\begin{array}{l}{9+3b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$．
故此二次函数的解析式为y=x²-2x-3；

（2）y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
故顶点坐标（1，-4），对称轴x=1；

（3）设圆半径为r，
当MN在x轴下方时，N点坐标为（1+r，-r），
把N点代入y=x²-2x-3得r=$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$，
当MN在x轴上方时，N点坐标为（1+r，r），
把N点代入y=x²-2x-3得r=$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$．
故圆的半径为$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$或$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$．

点评 考查了二次函数综合题，解题关键是利用了待定系数法求函数的解析式，二次函数的图象与圆的关系，相切的概念求解．