Question

11．已知：如图①，在平行四边形ABCD中，AD=6，AD⊥BD，以AD为斜边在平行四边形ABCD的内部作Rt△AED，∠EAD=30°，∠AED=90°．
（1）求△AED的周长；
（2）若△AED沿DC向右平移的△A′D′E′，当A′D′恰好经过BD中点O时，求△A′D′E′与△BDC重叠部分的面积．
（3）如图②，将△AED绕点D按顺时针方向旋转角α（0°＜α＜180°），在旋转过程中，A点的对应点为A₁，E的对应点为E₁，设直线A₁E₁与直线AD交于点F，是否存在这样的α，使△A₁DF为等腰三角形？若存在，直接写出α的度数；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）在Rt△ADE中，解直角三角形即可；
（2）根据A′D′恰好经过BD中点O和相似三角形的性质得到A′O=OD′=3，$\frac{A′O}{A′E′}$=$\frac{OG}{D′E′}$，求出OG的长，根据三角形面积公式计算即可；
（3）根据旋转和等腰三角形的性质分FA₁=FD、A₁F=A₁D两种情况解答即可．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=6．
在Rt△ADE中，AD=6，∠EAD=30°，
∴AE=AD•cos30°=3$\sqrt{3}$，DE=AD•sin30°=3，
∴△AED的周长为：6+3$\sqrt{3}$+3=9+3$\sqrt{3}$；
（2）当A′D′恰好经过BD中点O时，
∵DC∥AB，O是BD的中点，
∴A′O=OD′=3，
由平移可知，A′D′∥AD，又AD⊥BD，
∴A′D′⊥BD，
∴△A′OG∽△A′E′D′，
∴$\frac{A′O}{A′E′}$=$\frac{OG}{D′E′}$，
∴OG=$\sqrt{3}$，
∴△A′OG的面积为：$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×3=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，又△A′E′D′的面积为：$\frac{1}{2}$×3×3$\sqrt{3}$=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$，
∴△A′D′E′与△BDC重叠部分的面积为$\frac{9\sqrt{3}}{2}$-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$；
（3）如图②，
FA₁=FD时，
∵∠EAD=30°，
∴∠A₁=30°，则∠A₁DF=30°，
∴α=30°；
如图③，
A₁F=A₁D时，
∵∠A₁=30°，
∴α=75°．

点评 本题考查的是平移变换和旋转变换的性质，找出平移变换和旋转变换中相等的线段和相等的角是解题的关键，注意相似三角形的判定和性质的运用．