Question

16．如图，在平面直角坐标系中，半径为4的⊙O交坐标轴于A、B、C、D，点P为 弧BC上一个点（不与B、C点重合），连结PD．若△PAB的内切圆圆心为G，半径为1，则PD=5$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 作GM⊥AB于M，连接BG则∠GMP=90°，证明△OBD和△GPM是等腰直角三角形，得出PG=$\sqrt{2}$GM=$\sqrt{2}$，DG=DB=4$\sqrt{2}$，即可得出PD=PG+DG=5$\sqrt{2}$．

解答 解：作GM⊥PB于M，连接BG，如图所示：
则∠GMP=90°，
∵AB是直径，
∴∠APB=90°，
∵OD=OB，∠BOD=90°，
∴△OBD是等腰直角三角形，
∴∠OBD=45°，DB=$\sqrt{2}$OB=4$\sqrt{2}$，
∵点G即为△PAB的内心，
∴GM=1，∠GPM=45°，∠PBG=∠ABG，
∴△GPM是等腰直角三角形，
∴PG=$\sqrt{2}$GM=$\sqrt{2}$，
∵∠DGB=∠GPM+∠PBG=45°+∠PBG，∠DBG=∠OBD+∠ABG=45°+∠ABG，
∴∠DGB=∠DBG，
∴DG=DB=4$\sqrt{2}$，
∴PD=PG+DG=5$\sqrt{2}$；
故答案为：5$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了三角形的内心、圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握圆周角定理，证明三角形是等腰直角三角形是解决问题的关键．