Question

14．如图，已知AB是⊙O的弦，∠B=30°，C是弦AB上的任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长交⊙O于点D，连接AD．
（1）当∠D=20°，求∠BOD的度数；
（2）若以A、C、D为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求∠D的度数．

Answer 1

分析 （1）连接OA，根据圆的半径相等证明∠OAB=∠B和∠OAD=∠D，得到答案；
（2）若以A、C、D为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，由外角的性质得到∠BCO=∠CAD+∠D，推出∠ACD=∠BCO，由平角的定义得到∠ACD+∠BCO=180°，求得∠ACD=∠BCO=90°，即可得到答案．

解答 解：（1）连接OA，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠B=30°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠D=20°，
∴∠BAD=∠OAB=∠OAD=50°，
∴∠BOD=2∠BAD=100°；

（2）若以A、C、D为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，
∵∠BCO=∠CAD+∠D，
∴∠ACD=∠BCO，
∵∠ACD+∠BCO=180°，
∴∠ACD=∠BCO=90°，
∴∠D=∠B=30°，或∠A=∠B=30°，
∴∠D=60°，
综上所述：以A、C、D为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，∠D=30°或60°．

点评 此题考查了垂径定理，圆周角的性质以及相似三角形的性质，掌握圆的半径相等和等边对等角是解题的关键．