如图.在平面直角坐标系中.AB⊥x轴.垂足为A.BC⊥y轴.垂足为C.已知A.其中a.c满足关系式a=$\frac{\sqrt{{c}^{2}-64}+\sqrt{64{-c}^{2}}}{c-8}$+6.点P从A点出发沿折线AB-BC的方向运动到点C停止.运动的速度为每秒1个单位长度.设点P的运动时间为t妙．(1)求A.B.C三点坐标,(2)在点P的运动过程中.设三角� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．如图，在平面直角坐标系中，AB⊥x轴，垂足为A，BC⊥y轴，垂足为C，已知A（a，0），C（0，c），其中a，c满足关系式a=$\frac{\sqrt{{c}^{2}-64}+\sqrt{64{-c}^{2}}}{c-8}$+6，点P从A点出发沿折线AB-BC的方向运动到点C停止，运动的速度为每秒1个单位长度，设点P的运动时间为t妙．
（1）求A、B、C三点坐标；
（2）在点P的运动过程中，设三角形ACP的面积为S，用含t的代数式表示s；
（3）在点P的运动过程中，有一个角∠MPN=60°，PM边与射线AO相交于点E，PN边与射线OC相交于点F，试画出图形，并探究∠AEP与∠PFC的数量关系．

分析（1））由a，c满足关系式a=$\frac{\sqrt{{c}^{2}-64}+\sqrt{64{-c}^{2}}}{c-8}$+6，可得$\left\{\begin{array}{l}{{c}^{2}-64≥0}\\{64-{c}^{2}≥0}\\{c≠8}\end{array}\right.$，解得c=-8，a=6，由此即可解决问题．
（2）分两种情形分别求解①当0＜t≤8时．②当8＜t≤14时．
（3）结论：∠PEA+∠PFC=150°或∠PFC-∠AEP=30°．分两种情形分别画出两个图形进行证明即可．

解答解：（1）∵a，c满足关系式a=$\frac{\sqrt{{c}^{2}-64}+\sqrt{64{-c}^{2}}}{c-8}$+6，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{c}^{2}-64≥0}\\{64-{c}^{2}≥0}\\{c≠8}\end{array}\right.$，
∴c=-8，a=6，
∴A（6，0），B（6，-8），C（0，-8）．

（2）如图1中，①当0＜t≤8时，

S=$\frac{1}{2}$•AB•CB=$\frac{1}{2}$•t•6=3t．
②当8＜t≤14时，

S=$\frac{1}{2}$•PC•AB=$\frac{1}{2}$•（14-t）•8=-4t+56，
综上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{3t}&{（0＜t≤8）}\\{-4t+56}&{（8＜t≤14）}\end{array}\right.$．

（3）①当点P在线段AB上时，

如图3中，结论：∠PEA+∠PFC=150°．
理由：连接OP，
∵∠PFC=∠FPO+∠FOP，∠AEP=∠EOP+∠EPO，
∴∠PEA+∠PFC=∠FPO+∠FOP+∠EOP+∠EPO=∠AOF+∠EPF=90°+60°=150°．
如图4中，结论：∠PFC-∠AEP=30°，
理由：时PM交OC于G，
∵∠AEP+∠EGO=90°，∠EGO=∠PGF=120°-∠PFC，
∴∠AEP+120°-∠PFC=90°，
∴∠PFC-∠AEP=30°，

②当点P在线段BC上时，

如图5中，结论：∠PFC-∠AEP=30°，
理由：时PM交OC于G，
∵∠AEP+∠EGO=90°，∠EGO=∠PGF=120°-∠PFC，
∴∠AEP+120°-∠PFC=90°，
∴∠PFC-∠AEP=30°．
如图6中，结论：∠PEA+∠PFC=150°．
理由：连接OP，
∵∠PFC=∠FPO+∠FOP，∠AEP=∠EOP+∠EPO，
∴∠PEA+∠PFC=∠FPO+∠FOP+∠EOP+∠EPO=∠AOF+∠EPF=90°+60°=150°．
综上所述，∠PEA+∠PFC=150°或∠PFC-∠AEP=30°．