Question

已知A，B，P是⊙O上不同的三点，∠APB=α，点M是⊙O上的动点，且使△ABM为等腰三角形．若α=45°，则所有符合条件的M共有

 

个；若满足题意的点M有2个，则α=

 

．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：①分类讨论：当MA=MB，则M为AB的垂直平分与圆的两交点，这时两个等腰三角形的顶角分别为45°，135°；
当AM=AB，以A为圆心，AB为半径交⊙O于M，此时等腰三角形只有一个，且底角为45°；
同理当BM=BA，满足条件的等腰三角形也只有一个．
②当△AMB为直角三角形，且满足题意得到点M只有2个，得到AB为圆O的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得出∠APB为直角，此外当∠APB=α=60°，120°也符合题意，故符合条件的α的值有3个．

解答：解：①△ABM为等腰三角形．
当MA=MB，则M为AB的垂直平分与圆的两交点，这时两个等腰三角形的顶角分别为45°，135°，如图1中的M₁、M₂；
当AM=AB，以A为圆心，AB为半径的圆交⊙O于M₃，此时等腰三角形只有一个，且底角为45°；
同理当BM=BA，满足条件的等腰三角形也只有一个，如图1中的M₄，
所以满足条件的等腰三角形有4个．

②由满足题意的M只有2个，得到以AB为直径圆O，则∠APB=α=90°，如图2所示．
当∠APB=α=60°或120°也符合题意，
则符合条件的α值有3个：90°、60°或120°．
故答案分别为：4；90°、60°或120°．

点评：本题考查了圆的综合题．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．同时考查了垂径定理以及分类讨论的思想的运用．