Question

小明在课外学习时遇到这样一个问题：

定义：如果二次函数y=a₁x²+b₁x+c₁（a₁≠0，a₁，b₁，c₁是常数）与y=a₂x²+b₂x+c₂（a₂≠0，a₂，b₂，c₂是常数）满足a₁+a₂=0，b₁=b₂，c₁+c₂=0，则称这两个函数互为“旋转函数”．

求函数y=﹣x²+3x﹣2的“旋转函数”．

小明是这样思考的：由函数y=﹣x²+3x﹣2可知，a₁=﹣1，b₁=3，c₁=﹣2，根据a₁+a₂=0，b₁=b₂，c₁+c₂=0，求出a₂，b₂，c₂，就能确定这个函数的“旋转函数”．

请参考小明的方法解决下面问题：

（1）写出函数y=﹣x²+3x﹣2的“旋转函数”；

（2）若函数y=﹣x²+mx﹣2与y=x²﹣2nx+n互为“旋转函数”，求（m+n）²⁰¹⁵的值；

（3）已知函数y=﹣（x+1）（x﹣4）的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分布是A₁，B₁，C₁，试证明经过点A₁，B₁，C₁的二次函数与函数y=﹣（x+1）（x﹣4）互为“旋转函数．”

　

  

Answer 1

（1）解：∵a₁=﹣1，b₁=3，c₁=﹣2，

∴﹣1+a₂=0，b₂=3，﹣2+c₂=0，

∴a₂=11，b₂=3，c₂=2，

∴函数y=﹣x²+3x﹣2的“旋转函数”为y=x²+3x+2；

（2）解：根据题意得m=﹣2n，﹣2+n=0，解得m=﹣3，n=2，

∴（m+n）²⁰¹⁵=（﹣3+2）²⁰¹⁵=﹣1；

（3）证明：当x=0时，y=﹣（x+1）（x﹣4）=2，则C（0，2），

当y=0时，﹣（x+1）（x﹣4）=0，解得x₁=﹣1，x₂=4，则A（﹣1，0），B（4，0），

∵点A、B、C关于原点的对称点分布是A₁，B₁，C₁，

∴A₁（1，0），B₁（﹣4，0），C₁（0，﹣2），

设经过点A₁，B₁，C₁的二次函数解析式为y=a₂（x﹣1）（x+4），把C₁（0，﹣2）代入得a₂•（﹣1）•4=﹣2，解得a₂=，

∴经过点A₁，B₁，C₁的二次函数解析式为y=（x﹣1）（x+4）=x²+x﹣2，

而y=﹣（x+1）（x﹣4）=﹣x²+x+2，

∴a₁+a₂=﹣+=0，b₁=b₂=，c₁+c₂=2﹣2=0，

∴经过点A₁，B₁，C₁的二次函数与函数y=﹣（x+1）（x﹣4）互为“旋转函数