Question

（2013•椒江区一模）如图，AB是⊙O的直径，D，E是⊙O上的两点，AE和BD的延长线交于点C，连接DE．
（1）求证：△CDE∽△CAB；
（2）若∠C=60°，求证：DE=

1

2

AB．

Answer 1

分析：（1）由圆的内接四边形的性质可得：∠CDE=∠A，再由∠C=∠C，即可证明：△CDE∽△CAB；
（2）连接AD，由（1）已证△CDE∽△CAB，根据相似三角形的性质和已知条件即可证明DE=

1

2

AB．

解答：证明：（1）∵四边形ABDE内接于⊙O，
∴∠CDE=∠A，
又∵∠C=∠C
∴△CDE∽△CAB；
（2）连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADC=∠ADB=90°
又∵∠C=60°，
∴

CD

AC

=cos60°=

1

2

，
由（1）已证△CDE∽△CAB，
∴

ED

AB

=

CD

AC

=

1

2

∴ED=

1

2

AB．

点评：本题考查了圆的内接四边形性质、圆周角定理以及相似三角形的判定和性质，题目难度中等．