Question

（2013•椒江区一模）我们把弧长等于半径的扇形叫等边扇形．如图，扇形OAB是等边扇形，设OA=R，下列结论中：①∠AOB=60°；②扇形的周长为3R；③扇形的面积为

1

2

R2；④点A与半径OB中点的连线垂直OB；⑤设OA、OB的垂直平分线交于点P，以P为圆心，PA为半径作圆，则该圆一定会经过扇形的弧AB的中点．其中正确的个数为（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：根据弧长的计算公式判断①错误；
根据扇形的周长定义判断②正确；
根据S_扇形=

1

2

lR（其中l为扇形的弧长）判断③正确；
先由等边扇形的定义得出AB＜OA，再根据等腰三角形三线合一的性质得出AM与OB不垂直，判断④错误；
由线段垂直平分线的性质及三角形两边之和大于第三边得出OP=PA＞

1

2

OA，又OA=OC，OP+PC=OC，则PC＜

1

2

OC＜OP=AP，即PC＜圆P的半径，判断⑤错误．

解答：解：①设∠AOB=n°，
∵OA=OB=

AB

=R，
∴R=

nπR

180

，
∴n=

180

π

＜60，故①错误；

②扇形的周长为：OA+OB+

AB

=R+R+R=3R，故②正确；

③扇形的面积为：

1

2

AB

•OA=

1

2

R•R=

1

2

R2，故③正确；

④如图，设半径OB的中点为M，连接AM．
∵OA=OB=

AB

=R，
∴AB＜R=OA，
∵OM=MB，
∴AM与OB不垂直，故④错误；

⑤如图，设弧AB的中点为C．
∵OP=PA＞

1

2

OA，
∵OA=OC，
∴OP＞

1

2

OC，
∵OP+PC=OC，
∴PC＜

1

2

OC＜OP=AP，
即PC＜圆P的半径，
∴以P为圆心，PA为半径作圆，则该圆一定不会经过扇形的弧AB的中点C．
故选B．

点评：本题考查了弧长的计算，扇形的周长与面积，等腰三角形、线段垂直平分线的性质，三角形三边关系定理，三点共圆的条件，综合性较强，难度适中．