Question

如图，矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）．抛物线y=-x²+bx+c经过A、C两点，与AB边交于点D．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ=CP，连接PQ，设CP=m，△CPQ的面积为S．
①求S关于m的函数表达式，并求出m为何值时，S取得最大值；
②当S最大时，在抛物线y=-x²+bx+c的对称轴l上若存在点F，使△FDQ为直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）将A、C两点坐标代入抛物线y=-x²+bx+c，即可求得抛物线的解析式；
（2）①先用m 表示出QE的长度，进而求出三角形的面积S关于m的函数，化简为顶点式，便可求出S的最大值；
②直接写出满足条件的F点的坐标即可，注意不要漏写．
解答：解：（1）将A、C两点坐标代入抛物线y=-x²+bx+c，
，
解得，
∴抛物线的解析式为y=-x²+x+8；

（2）①∵OA=8，OC=6
∴AC==10，
过点Q作QE⊥BC与E点，则sin∠ACB===，
∴=，
∴QE=（10-m），
∴S=•CP•QE=m×（10-m）=-m²+3m=-（m-5）²+，
∴当m=5时，S取最大值；
②在抛物线对称轴l上存在点F，使△FDQ为直角三角形，
∵抛物线的解析式为y=-x²+x+8的对称轴为x=，
D的坐标为（3，8），Q（3，4），
当∠FDQ=90°时，F₁（，8），
当∠FQD=90°时，则F₂（，4），
当∠DFQ=90°时，设F（，n），
则FD²+FQ²=DQ²，
即+（8-n）²++（n-4）²=16，
解得：n=6±，
∴F₃（，6+），F₄（，6-），
满足条件的点F共有四个，坐标分别为
F₁（，8），F₂（，4），F₃（，6+），F₄（，6-）．
点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有抛物线的公式的求法抛物线的最值等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题．