Question

【题目】已知ABC内接于，的平分线交于点D，连接DB，DC．

（1）如图①，当时，请直接写出线段AB，AC，AD之间满足的等量关系式：　 　；

（2）如图②，当时，试探究线段AB，AC，AD之间满足的等量关系，并证明你的结论；

（3）如图③，若BC=5，BD=4，求 的值．

Answer 1

【答案】（1）AB+AC=AD；（2）；（3）

【解析】

（1）在AD上截取AE=AB，连接BE，由条件可知△ABE和△BCD都是等边三角形，可证明△BED≌△BAC，可得DE=AC，则AB+AC=AD；

（2）延长AB至点M，使BM=AC，连接DM，证明△MBD≌△ACD，可得MD=AD，证得AB+AC=；

（3）延长AB至点N，使BN=AC，连接DN，证明△NBD≌△ACD，可得ND=AD，∠N=∠CAD，证△NAD∽△CBD，可得，

可由AN=AB+AC，求出的值.

解：（1）如图①在AD上截取AE=AB，连接BE，

∵∠BAC=120°，∠BAC的平分线交⊙O于点D，

∴∠DBC=∠DAC=60°，∠DCB=∠BAD=60°，

∴△ABE和△BCD都是等边三角形，

∴∠DBE=∠ABC，AB=BE，BC=BD，

∴△BED≌△BAC（SAS），

∴DE=AC，

∴AD=AE+DE=AB+AC；

故答案为：AB+AC=AD．

（2）AB+AC=．理由如下：

如图②，延长AB至点M，使BM=AC，连接DM，

∵四边形ABDC内接于⊙O，

∴∠MBD=∠ACD，

∵∠BAD=∠CAD=45°，

∴BD=CD，

∴△MBD≌△ACD（SAS），

∴MD=AD，∠M=∠CAD=45°，

∴MD⊥AD．

∴AM=，即AB+BM=，

∴AB+AC=；

（3）如图③，延长AB至点N，使BN=AC，连接DN，

∵四边形ABDC内接于⊙O，

∴∠NBD=∠ACD，

∵∠BAD=∠CAD，

∴BD=CD，

∴△NBD≌△ACD（SAS），

∴ND=AD，∠N=∠CAD，

∴∠N=∠NAD=∠DBC=∠DCB，

∴△NAD∽△CBD，

∴，

∴，

又AN=AB+BN=AB+AC，BC=5，BD=4，

∴．