Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴相交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点.

（1）点的坐标为__________，点的坐标为__________，线段的长为__________，抛物线的解析式为__________.

（2）点是线段下方抛物线上的一个动点.

①如果在轴上存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形.求点的坐标.

②如图2，过点作交线段于点，过点作直线交于点，交轴于点，记，求关于的函数解析式；当取和时，试比较的对应函数值和的大小.

Answer 1

【答案】（1）、、、；（2）①点的坐标为或；②.

【解析】

(1)由题意得：，故，即可求解；

(2)①分是平行四边形的一条边时、是平行四边形的对角线时，两种情况分别求解即可；

②如图，过点作轴交于点，证明，根据相似三角形的对应边成比例可得，设点，点，则，继而可得，由此即可求得答案.

(1)由题意得：，故，

故抛物线的表达式为：，

令，则或，即点、的坐标分别为、，

则，

故答案为：、、、；

(2)①当是平行四边形的一条边时，

如图所示，点向右平移4个单位、向上平移4个单位得到点，

设：点，点，

则点向右平移4个单位、向上平移4个单位得到点，

即：，，

解得：或6(舍去4)，

即点；

当是平行四边形的对角线时，

设点、点，其中，

由中心公式可得：，，

解得：或4(舍去4)，

故点；

故点的坐标为或；

②如图，过点作轴交于点，

∵轴，∴，

∵轴，∴，

∴，∴，即：，

则，

设点，点，

则，

则，

，

当时，，

当时，，

则，

则，∴，

.