Question

【题目】如图，直线与x轴、y轴分别交于BC两点，抛物线经过B、C两点，且与x轴交于点A

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）已知点M是第一象限内抛物线上的一个动点，过点M作MN平行于y轴交直线BC于点N，连接AM、BM、AN，求四边形MANB面积S的最大值，并求出此时点M的坐标；

（3）抛物线的对称轴交直线BC于点D，若Q为y轴上一点，则在抛物线上是否存在一点P，使得以B、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）当t＝时，S四边形MANB的最大值＝5，此时点M；（3）P坐标为或或．

【解析】

（1）直线与x轴、y轴的交点为B（5，0），C（0，﹣2），代入抛物线解析式可求出a，c的值；

（2）设点，用含t的代数式表示四边形MANB的面积，得到S与t的函数关系式，利用二次函数最大值求出t的值；

（3）存在，分BD为平行四边形的边或对角线进行分类讨论．

解：（1）由x﹣2＝0得x＝5，

∴B（5，0），令x＝0，得y＝﹣2，

∴C（0，﹣2），

由题意得：，

解得，

∴抛物线解析式为 ．

（2）如图1，设，

S四边形MANB＝S△AMN+S△BMN

＝AGMN+BGMN

＝MN（AG+BG）

＝MNAB

＝×4（t2+2t）

∵＜0，

∴当t＝时，S四边形MANB的最大值＝5，此时点M．

（3）存在．由为 ，

∴抛物线对称轴x＝3．对称轴交x轴于F，

①以BD为边，PQ在BC上方，如图2，D（3，），F（3，0），

∵四边形BDQP是平行四边形，∴BD∥PQ，BD＝PQ，

过点P作PH⊥y轴于H，

∴∠PHQ＝∠BFD＝90°，∠PQH＝∠BCO＝∠BDF，

∴△PQH≌△BDF，

∴PH＝BF＝2，HQ＝FD＝，

∴P（2，）．

②以BD为边，PQ在BC下方，如图3，仿照①可求得P，

③以BD为平行四边形对角线，如图4，设BD中点为S，则S，

∵BPDQ是平行四边形，

∴BD与PQ互相平分，

∴SQ＝SP，

∴S是PQ中点，

设，

∴，

∴a＝8，

∴P（8， ）

综上所述，P坐标为或或．